Номер 123 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Решение книги: подбираем прямую $AB$, параллельную $a$, чтобы она проходила через обе плоскости в разных точках. Если бы у плоскостей была общая точка, получился бы треугольник с двумя прямыми углами.

1. 1Нужна прямая, параллельная $a$ и пересекающая обе плоскости в различных точках $A$ и $B$ (так как плоскости разные, такая есть).
2. 2Первая теорема п. 16: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая. Значит, $AB$ перпендикулярна и $\alpha$, и $\beta$.
3. 3Предполагаем, что у плоскостей есть общая точка $M$. Она не совпадает с $A$ и $B$: прямая $AB$ пересекает $\alpha$ только в $A$, а $\beta$ только в $B$. Прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой плоскости, значит, $AB\perp AM$ и $AB\perp BM$.
4. 4В треугольнике $ABM$ были бы два прямых угла (при $A$ и при $B$), а сумма углов треугольника равна $180^{\circ }$. Противоречие, поэтому общих точек нет.