Номер 125 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Четырёхугольник $P{P}_1{Q}_{1}Q$ — прямоугольная трапеция. Если провести высоту, получится прямоугольный треугольник с известной гипотенузой $PQ$ и одним катетом.

1. 1Первая теорема о параллельных прямых и перпендикуляре (п. 16): две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Параллельные прямые $P{P}_1$ и $Q{Q}_1$ лежат в одной плоскости, в ней и все четыре точки. Точки $P$ и $Q$ по одну сторону от $\alpha$: по разные стороны было бы $PQ\ge 21,5+33,5=55>15$.
2. 2Отрезок $PH$ параллелен $P_1{Q}_1$. Прямая $P_1{Q}_1$ лежит в $\alpha$ и перпендикулярна $P{P}_1$ и $Q{Q}_1$, поэтому в $P{P}_1{Q}_{1}H$ все углы прямые, и $H{Q}_1=P{P}_1$, $PH=P_1{Q}_1$.
3. 3$Q$ выше $H$ на разность перпендикуляров.
4. 4Угол $PHQ$ прямой, потому что $PH\parallel P_1{Q}_1$ и $P_1{Q}_1\perp Q{Q}_1$. По теореме Пифагора в $△PHQ$ находим $PH$ из гипотенузы $PQ$ и катета $QH$.