Номер 124 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 41, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости

№124. Прямая $PQ$ параллельна плоскости $α$ . Через точки $P$ и $Q$ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости $α$ , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках $P_{1}$ и $Q_{1}$ . Докажите, что $PQ = P_{1} Q_{1}$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

PQ ∥ α

;

P P_{1} ⊥ α

Q Q_{1} ⊥ α

;

P_{1}, Q_{1} \in α

Доказать:

PQ = P_{1} Q_{1}

Прямая PQ параллельна плоскости α, перпендикуляры PP₁ и QQ₁

P P_{1} ⊥ α

Q Q_{1} ⊥ α

⇒

P P_{1} ∥ Q Q_{1}

(п. 16) ⇒ лежат в одной плоскости

β

PQ \subset β

PQ ∥ α

β \cap α = P_{1} Q_{1}

⇒

PQ ∥ P_{1} Q_{1}

(п. 6,

1^{0}

).2

P P_{1} ∥ Q Q_{1}

PQ ∥ P_{1} Q_{1}

⇒

P P_{1} Q_{1} Q

— параллелограмм.3

Противоположные стороны параллелограмма равны:

PQ = P_{1} Q_{1}

Ответ:

PQ = P_{1} Q_{1}

Пояснение

Идея. Строим четырёхугольник $P P_{1} Q_{1} Q$ и доказываем, что он параллелограмм: два перпендикуляра к одной плоскости параллельны, а прямая, параллельная плоскости, параллельна и линии пересечения с ней.

1Теорема п. 16: две прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны. Две параллельные прямые лежат в одной плоскости $β$ (она содержит и $P$ , $Q$ , $P_{1}$ , $Q_{1}$ ).
2Плоскость $β$ проходит через $PQ$ , а $PQ ∥ α$ . По утверждению $1^{0}$ п. 6 линия пересечения $β$ и $α$ — прямая $P_{1} Q_{1}$ — параллельна $PQ$ .
3У четырёхугольника $P P_{1} Q_{1} Q$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, он параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны.

Номер 124 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели