Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№126. Прямая MB перпендикулярна к сторонам AB и BC треугольника ABC. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная точка прямой AC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:MB⊥AB, MB⊥BC; D∈AC
Найти:вид △MBD
MB⊥AB,
MB⊥BC;
AB∩BC=B ⇒
MB⊥(ABC) (п. 17).
1 BD⊂(ABC) ⇒
MB⊥BD (по опр.),
∠MBD=90∘.
2 Ответ: прямоугольный.
Пояснение
Идея. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна всей плоскости (признак, п. 17). Тогда она перпендикулярна и любой прямой, проведённой в плоскости через точку B.
- 1Прямые AB и BC пересекаются в B и лежат в плоскости треугольника, а MB перпендикулярна им обеим. Признак перпендикулярности прямой и плоскости даёт MB⊥(ABC).
- 2Точка D лежит на прямой AC, значит, в плоскости ABC. Отрезок BD — прямая этой плоскости, и по определению перпендикулярности прямой и плоскости MB⊥BD.
- 3Угол MBD при вершине B прямой — вид треугольника не зависит от выбора D.
