Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№127. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90∘. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD⊥AC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:∠A+∠B=90∘; BD⊥(ABC)
Доказать:CD⊥AC
∠A+∠B=90∘ ⇒
∠C=180∘−90∘=90∘,
AC⊥BC.
1 BD⊥(ABC),
AC⊂(ABC) ⇒
AC⊥BD.
2 AC⊥BC,
AC⊥BD,
BC∩BD=B ⇒
AC⊥(BCD) (п. 17).
3 Ответ: CD⊥AC.
Пояснение
Идея. Доказать перпендикулярность AC и CD проще всего через плоскость BCD: если AC перпендикулярна двум её пересекающимся прямым, то перпендикулярна и всей плоскости, в том числе CD.
- 1Сумма углов треугольника равна 180∘, значит, третий угол C прямой.
- 2Перпендикуляр BD к плоскости ABC перпендикулярен каждой прямой этой плоскости, в частности AC.
- 3Пересекающиеся в B прямые BC и BD задают плоскость BCD. Прямая AC перпендикулярна обеим, и признак из п. 17 даёт AC⊥(BCD).
- 4Прямая CD лежит в плоскости BCD. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой её прямой.
