Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№128. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA=MC, MB=MD. Докажите, что прямая OM перпендикулярна к плоскости параллелограмма.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — параллелограмм, AC∩BD=O; MA=MC, MB=MD
Доказать:OM⊥(ABCD)
O — середина
AC и
BD (свойство параллелограмма).
1 △MAC:
MA=MC,
MO — медиана ⇒
MO⊥AC.
2 △MBD:
MB=MD,
MO — медиана ⇒
MO⊥BD.
2 AC∩BD=O,
AC,BD⊂(ABCD) ⇒
OM⊥(ABCD) (п. 17).
3 Ответ: OM⊥(ABCD).
Пояснение
Идея. Перпендикулярность прямой плоскости проверяем по признаку (п. 17): достаточно двух пересекающихся прямых плоскости, перпендикулярных OM. Такие прямые — диагонали.
- 1Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O — середина и AC, и BD.
- 2В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. У △MAC основание AC, медиана MO; у △MBD основание BD, медиана тоже MO.
- 3Диагонали AC и BD пересекаются в O и лежат в плоскости параллелограмма. Прямая OM перпендикулярна обеим, значит, перпендикулярна плоскости.
