Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№129. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO; б) MO⊥BD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — квадрат, AC∩BD=O; AM⊥(ABCD)
Доказать:а) BD⊥(AMO); б) MO⊥BD
а)
BD⊥AC (диагонали квадрата);
BD⊥AM, т. к.
AM⊥(ABCD).
1 AC∩AM=A,
AC,AM⊂(AMO) ⇒
BD⊥(AMO) (п. 17).
2 б)
Ответ: а) BD⊥(AMO); б) MO⊥BD.
Пояснение
Идея. В пункте а) прямую BD перпендикулярную плоскости AMO получаем по признаку (п. 17): находим две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные BD. Пункт б) следует из а).
- 1Диагонали квадрата перпендикулярны. Прямая AM перпендикулярна плоскости квадрата, значит, перпендикулярна любой прямой в ней, в том числе BD. Точка O лежит на AC, поэтому прямая AC лежит в плоскости AMO.
- 2Прямые AC и AM пересекаются в A и лежат в плоскости AMO. Прямая BD перпендикулярна обеим, поэтому по признаку BD⊥(AMO).
- 3Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, а MO в плоскости AMO лежит.
