Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№22. Точки A и B лежат в плоскости α, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:A,B∈α, C∈/α; M, N — середины AC и BC
Доказать:MN∥α
M,
N — середины
AC и
BC;
MN — средняя линия
△ABC ⇒
MN∥AB.
1 AB⊂α, т. к.
A,B∈α (
A2).
2 M∈/α: иначе
AM⊂α и
C∈AM лежала бы в
α.
3 MN⊂α,
MN∥AB⊂α ⇒
MN∥α (признак, п. 6).
4 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Признак параллельности прямой и плоскости (п. 6): прямая, не лежащая в плоскости и параллельная прямой этой плоскости, параллельна плоскости. Нужная прямая в плоскости — AB.
- 1Точки A, B, C не лежат на одной прямой (C вне α), это треугольник. Отрезок между серединами двух его сторон — средняя линия, она параллельна третьей стороне AB.
- 2Две точки прямой AB лежат в α, поэтому вся прямая лежит в α.
- 3Признаку нужно ещё, чтобы MN не лежала в α. Хватает одной точки вне плоскости: если бы M была в α, то прямая AM и её точка C тоже были бы в α.
- 4Оба условия признака выполнены.
Частая ошибка. Забыть доказать, что MN не лежит в α: без этого признак применять нельзя.
