Номер 130 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— квадрат,

A B = n

;

MB ⊥ A B

MB ⊥ BC

MB = m

Найти:

расстояния от

M

до вершин и до

A C

B D

Квадрат ABCD, перпендикуляр MB к его плоскости, точка O — центр

MB ⊥ A B

MB ⊥ BC

⇒

MB ⊥ (A BC)

(п. 17).1

а)

MB = m

;

△ MB A

M A^{2} = m^{2} + n^{2}

MC = M A = m^{2} + n^{2}

B D = n 2

;

△ MB D

M D^{2} = m^{2} + 2 n^{2}

M D = m^{2} + 2 n^{2}

б)

MB ⊥ B D

⇒ расстояние от

M

до

B D

равно

MB = m

BO ⊥ A C

MB ⊥ A C

⇒

A C ⊥ (MBO)

⇒

MO ⊥ A C

M O^{2} = M B^{2} + B O^{2} = m^{2} + \frac{n ^{2}}{2}

Ответ: а)

M A = MC = m^{2} + n^{2}

MB = m

M D = m^{2} + 2 n^{2}

; б) до

A C

—

m^{2} + \frac{n ^{2}}{2}

, до

B D

—

m

Пояснение

Идея. Сначала $MB ⊥ (A BC)$ по признаку (п. 17) — тогда $MB$ перпендикулярна любой прямой плоскости квадрата. Все искомые расстояния — гипотенузы или катеты прямоугольных треугольников с прямым углом при $B$ или $O$ .

1 $MB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A B$ и $BC$ плоскости квадрата — значит, и всей плоскости.
2Треугольники $MB A$ и $MBC$ прямоугольные с катетами $m$ и $n$ . Расстояние от точки до точки — длина отрезка, поэтому $M A = MC$ находится по теореме Пифагора.
3Диагональ квадрата со стороной $n$ равна $n 2$ . $MB ⊥ B D$ , значит, $△ MB D$ прямоугольный.
4Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. $MB ⊥ B D$ и $B \in B D$ , поэтому перпендикуляр к $B D$ — сам отрезок $MB$ .
5Диагонали квадрата перпендикулярны, $BO ⊥ A C$ , и $BO = \frac{n 2}{2}$ . Прямая $A C$ перпендикулярна $MB$ и $BO$ , поэтому $A C ⊥ (MBO)$ и $MO ⊥ A C$ : $MO$ — искомый перпендикуляр.

Номер 130 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели