Номер 132 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

α ∥ β

a ⊥ α

Доказать:

a ⊥ β

Параллельные плоскости α и β, прямая a, перпендикулярная α, и параллельные прямые b и b′

Пусть

b

c

— пересекающиеся прямые в

β

;

A \in α

Плоскости

(b, A)

(c, A)

пересекают

α

по

b^{'}

c^{'}

b^{'} ∥ b

c^{'} ∥ c

(п. 11,

1^{0}

).2

a ⊥ α

⇒

a ⊥ b^{'}

a ⊥ c^{'}

⇒

a ⊥ b

a ⊥ c

(лемма п. 15).3

b \cap c \neq = \emptyset

⇒

a ⊥ β

(п. 17).4

Ответ:

a ⊥ β

Пояснение

Идея. Перпендикулярность $a$ и $β$ проверяем по признаку (п. 17): нужны две пересекающиеся прямые в $β$ , перпендикулярные $a$ . Каждую прямую $β$ сдвигаем в $α$ параллельно — там перпендикулярность к $a$ известна.

1Берём в $β$ две пересекающиеся прямые $b$ и $c$ и точку $A \in α$ . Плоскость через $b$ и $A$ — не $α$ и не $β$ , поэтому пересекает $α$ по прямой $b^{'}$ . Так же получаем $c^{'}$ .
2Параллельные плоскости $α$ и $β$ пересечены третьей плоскостью: линии пересечения параллельны (свойство $1^{0}$ , п. 11).
3Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $α$ , значит, перпендикулярна $b^{'}$ и $c^{'}$ . Лемма п. 15: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая перпендикулярна ей.
4Две пересекающиеся прямые плоскости $β$ перпендикулярны $a$ — признак из п. 17.

Номер 132 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели