Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№133. Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
✎ Запись в тетрадь
Дано:прямая a, точка M
Доказать:плоскость через M, перпендикулярная a, единственна
Через
M проходит плоскость
α⊥a (задача п. 17).
1Допустим, через
M проходит ещё
α1⊥a,
α1=α.
2α⊥a,
α1⊥a ⇒
α∥α1 (зад. 123).
3 Но у
α и
α1 есть общая точка
M — противоречие.
4Значит, плоскость
α единственная.
4Ответ: плоскость единственна.
Пояснение
Идея. Решение книги. Существование плоскости — уже доказанная задача п. 17. Единственность доказываем от противного, используя задачу 123: две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
- 1Задача п. 17: через данную точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.
- 2Предполагаем противное: есть вторая такая плоскость α1, тоже через M.
- 3Задача 123: если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они параллельны.
- 4Параллельные плоскости не имеют общих точек, а у α и α1 есть общая точка M. Предположение неверно.
