Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку M прямой a и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой a.
✎ Запись в тетрадь
Дано:M∈a; b⊥a, M∈b
Доказать:b лежит в плоскости, проходящей через M перпендикулярно a
Пусть
α — плоскость,
M∈α,
α⊥a (п. 17).
1Допустим,
b⊥a,
M∈b, но
b⊂α.
2Плоскость
(a,b) пересекает
α по прямой
c,
M∈c.
3В плоскости
(a,b) через
M две прямые
b,
c, перпендикулярные
a — невозможно.
5Ответ: все такие прямые лежат в этой плоскости.
Пояснение
Идея. Доказываем от противного: если b не лежит в α, то в плоскости (a,b) через точку M можно провести две различные прямые, перпендикулярные a. Это противоречит теореме о единственности такой прямой на плоскости.
- 1Плоскость α, проходящая через M перпендикулярно a, существует (задача п. 17).
- 2Берём произвольную прямую b через M, b⊥a, и допускаем, что b лежит не в α.
- 3Прямая a не лежит в α, поэтому плоскости (a,b) и α различны. У них общая точка M, значит, они пересекаются по прямой c, которая проходит через M.
- 4Прямая c лежит в α, а a⊥α, поэтому c⊥a.
- 5В одной плоскости через точку прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную ей. Здесь их две (b=c, обе через M и обе перпендикулярны a) — противоречие. Значит, b⊂α.
