Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№135. Прямая a перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b∥α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a⊥α, a⊥b, b⊂α
Доказать:b∥α
Возьмём
M∈b, проведём
a′∥a через
M ⇒
a′⊥α (п. 16),
a′⊥b (п. 15).
1Пусть
α′ — плоскость через
M,
α′⊥a′ (п. 17).
2b⊥a′,
M∈b ⇒
b⊂α′ (зад. 134).
3 α⊥a′,
α′⊥a′ ⇒
α∥α′ (зад. 123);
α′=α, т. к.
b⊂α.
4 Ответ: b∥α.
Пояснение
Идея. Строим плоскость α′, которая содержит b и перпендикулярна прямой, параллельной a. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны, а прямая в одной из параллельных плоскостей не имеет общих точек с другой.
- 1Прямая a′ проходит через точку M прямой b параллельно a. Если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая (п. 16); перпендикулярность b сохраняется при замене a на параллельную прямую (лемма п. 15). Если a уже проходит через M, то a′=a.
- 2Через точку M проходит плоскость, перпендикулярная a′ (задача п. 17).
- 3Все прямые, проходящие через M перпендикулярно a′, лежат в этой плоскости (задача 134). Прямая b — одна из них.
- 4Задача 123: две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны. Они не совпадают: b лежит в α′, но не в α.
- 5У параллельных плоскостей нет общих точек, значит, у b с α тоже нет общих точек. Прямая и плоскость без общих точек параллельны.
