Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№136. Докажите, что если точка X равноудалена от концов отрезка AB, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к прямой AB.
✎ Запись в тетрадь
Дано:XA=XB; O — середина AB; α∋O, α⊥AB
Доказать:X∈α
O — середина
AB,
α∋O,
α⊥AB. Если
X=O, то
X∈α.
1 Пусть
X=O:
XA=XB,
X∈/AB (иначе
X=O),
XO — медиана
△AXB.
2△AXB равнобедренный ⇒
XO⊥AB.
2 Все прямые через
O, перпендикулярные
AB, лежат в
α (зад. 134) ⇒
XO⊂α,
X∈α.
3Ответ: X∈α.
Пояснение
Идея. Точка X, не лежащая на AB, образует с A и B равнобедренный треугольник, в котором медиана XO перпендикулярна AB. Теперь воспользуемся задачей 134: прямая XO из точки O перпендикулярно AB лежит в плоскости α.
- 1Отдельно разбираем случай X=O: середина отрезка лежит в α по построению.
- 2Если бы X лежала на прямой AB и была равноудалена от A и B, она совпала бы с серединой O. Поэтому при X=O точки A, X, B образуют треугольник. У него XA=XB, а медиана к основанию в равнобедренном треугольнике — высота.
- 3Задача 134: все прямые, проходящие через точку прямой перпендикулярно ей, лежат в плоскости, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой. Здесь точка — O, прямая — AB, и прямая XO среди этих прямых.
