Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 42, §1 Перпендикулярность прямой и плоскости
№137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a и b скрещивающиеся, a⊥b
Доказать:есть плоскость через a, перпендикулярная b (и через b, перпендикулярная a)
M∈a,
b′∥b,
M∈b′ ⇒
a⊥b′ (п. 15).
γ=(a,b′).
1 Через
M проведём
d⊥γ (п. 18) ⇒
d⊥b′ ⇒
d⊥b (п. 15).
2a⊥b,
d⊥b,
a∩d=M ⇒
b⊥(a,d) (п. 17).
3 Плоскость
(a,d) содержит
a и перпендикулярна
b.
3Поменяв роли
a и
b, получим плоскость через
b, перпендикулярную
a.
4Ответ: такие плоскости существуют.
Пояснение
Идея. Нужна плоскость, содержащая a и перпендикулярная b. По признаку (п. 17) достаточно найти в ней две пересекающиеся прямые, перпендикулярные b. Одна — сама a, вторую строим как перпендикуляр к плоскости a и параллельной b прямой.
- 1Прямые a и b скрещивающиеся, поэтому сначала переносим b в точку M прямой a: прямая b′ проходит через M параллельно b. По лемме п. 15 a⊥b′. Прямые a и b′ пересекаются, и через них проходит плоскость γ.
- 2Теорема п. 18: через точку M проходит перпендикуляр d к плоскости γ. Он перпендикулярен любой прямой этой плоскости, в том числе b′, а значит, и b.
- 3b перпендикулярна двум пересекающимся в M прямым a и d плоскости (a,d). Признак из п. 17 даёт b⊥(a,d).
- 4Условие симметрично относительно a и b: те же построения со сменой ролей дают плоскость через b, перпендикулярную a.
