Номер 138 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 47, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

№138. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен $φ$ . а) Найдите наклонную и её проекцию, если перпендикуляр равен $d$ . б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна $m$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A H ⊥ α

A M

— наклонная,

∠ H A M = φ

; а)

A H = d

; б)

A M = m

Найти:

а)

A M

H M

; б)

A H

H M

Перпендикуляр AH, наклонная AM и её проекция HM на плоскость α

A H ⊥ α

H M \subset α

⇒

A H ⊥ H M

;

△ A H M

— прямоугольный,

∠ A = φ

а)

A H = d

A M = \frac{A H}{cos φ} = \frac{d}{cos φ}

H M = A H \cdot tg φ = d tg φ

б)

A M = m

A H = A M cos φ = m cos φ

H M = A M sin φ = m sin φ

Ответ: а)

A M = \frac{d}{cos φ}

H M = d tg φ

; б)

A H = m cos φ

H M = m sin φ

Пояснение

Идея. Перпендикуляр, наклонная и проекция наклонной образуют прямоугольный треугольник (п. 19): перпендикуляр и проекция — катеты, наклонная — гипотенуза. Дальше работает тригонометрия прямоугольного треугольника.

1Перпендикуляр $A H$ перпендикулярен любой прямой плоскости, в частности проекции $H M$ , поэтому угол $H$ прямой. Угол между перпендикуляром и наклонной — это угол $A$ при вершине $A$ .
2 $A H$ — катет, прилежащий к углу $φ$ , $H M$ — противолежащий, $A M$ — гипотенуза. Если известен катет $A H = d$ : $cos φ = \frac{A H}{A M}$ даёт $A M$ , $tg φ = \frac{H M}{A H}$ даёт $H M$ .
3Если известна гипотенуза $A M = m$ : прилежащий катет равен $m cos φ$ , противолежащий — $m sin φ$ .

Номер 138 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели