Номер 139 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A H ⊥ α

;

A B

A C

— наклонные,

H B

H C

— проекции

Доказать:

а)

A B = A C \Rightarrow H B = H C

; б)

H B = H C \Rightarrow A B = A C

; в)

A B > A C \Rightarrow H B > H C

Перпендикуляр AH, наклонные AB и AC и их проекции HB и HC

A H ⊥ α

;

△ A H B

△ A H C

прямоугольные:

A B^{2} = A H^{2} + H B^{2}

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}

а)

A B = A C \Rightarrow H B^{2} = A B^{2} - A H^{2} = A C^{2} - A H^{2} = H C^{2} \Rightarrow H B = H C

б)

H B = H C \Rightarrow A B^{2} = A H^{2} + H B^{2} = A H^{2} + H C^{2} = A C^{2} \Rightarrow A B = A C

в)

A B > A C \Rightarrow H B^{2} = A B^{2} - A H^{2} > A C^{2} - A H^{2} = H C^{2} \Rightarrow H B > H C

Ответ: а), б), в) доказаны.

Пояснение

Идея. Обе наклонные и их проекции входят в прямоугольные треугольники с общим катетом $A H$ (перпендикуляром). Теорема Пифагора связывает наклонную с проекцией одним равенством, из него следуют все три утверждения.

1 $A H ⊥ α$ , поэтому $A H ⊥ H B$ и $A H ⊥ H C$ . В обоих треугольниках $A H$ — общий катет, наклонная — гипотенуза, проекция — второй катет. Теорема Пифагора для каждого.
2Равные наклонные и общий катет $A H$ дают равные квадраты проекций. Длины положительны, значит, проекции равны.
3Обратное рассуждение: равные проекции и общий катет дают равные квадраты наклонных.
4Из $A B > A C$ следует $A B^{2} > A C^{2}$ (длины положительны). Вычитаем из обеих частей один и тот же квадрат $A H^{2}$ — неравенство сохраняется. Остаётся $H B^{2} > H C^{2}$ , а у положительных чисел бóльший квадрат — у бóльшего числа.

Номер 139 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели