Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№23. Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — прямоугольник, M∈/(ABC)
Доказать:CD∥(ABM)
ABCD — прямоугольник ⇒
CD∥AB,
AB⊂(ABM).
1 CD⊂(ABM): иначе
A,B,C,D,M в одной плоскости и
M∈(ABC).
2 CD∥AB,
CD⊂(ABM) ⇒
CD∥(ABM) (признак, п. 6).
3 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Признак параллельности прямой и плоскости (п. 6): нужна прямая в плоскости ABM, параллельная CD, и доказательство того, что CD в этой плоскости не лежит.
- 1Противоположные стороны прямоугольника параллельны, а прямая AB лежит в плоскости ABM по построению.
- 2Если бы CD лежала в плоскости ABM, то в ней лежали бы все вершины прямоугольника, и эта плоскость совпала бы с плоскостью ABCD (через A, B, C проходит только одна плоскость). Тогда M лежала бы в плоскости прямоугольника, а по условию это не так.
- 3Оба условия признака выполнены.
