Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 47, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№140. Из точки A, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр AO и две равные наклонные AB и AC. Известно, что ∠OAB=∠BAC=60∘, AO=1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.
✎ Запись в тетрадь
Дано:AO⊥α, AB=AC; ∠OAB=∠BAC=60∘, AO=1,5 см
Найти:BC
AO⊥α ⇒
△AOB — прямоугольный,
∠O=90∘,
∠A=60∘.
1 AB=AC ⇒
△ABC равнобедренный;
∠A=60∘ ⇒
∠B=∠C=60∘.
2 △ABC равносторонний ⇒
BC=AB=3 см.
3 Ответ: 3 см.
Пояснение
Идея. Нужно найти BC — сторону треугольника ABC. Сначала из прямоугольного треугольника с перпендикуляром находим наклонную AB, потом замечаем, что ABC равносторонний.
- 1Перпендикуляр AO перпендикулярен любой прямой плоскости, в частности OB. В прямоугольном треугольнике AOB катет AO прилежит к углу 60∘, а AB — гипотенуза.
- 2Равнобедренный треугольник с углом 60∘ при вершине: углы при основании равны 2180∘−60∘=60∘.
- 3Все три угла равны 60∘, значит, треугольник равносторонний и BC=AB.
