Номер 141 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 47, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

№141. Один конец данного отрезка лежит в плоскости $α$ , а другой находится от неё на расстоянии $6$ см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости $α$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A \in α

;

B B_{1} ⊥ α

B B_{1} = 6

см;

A M = MB

;

M M_{1} ⊥ α

Найти:

M M_{1}

Отрезок AB с концом A в плоскости α, перпендикуляры BB₁ и MM₁

B B_{1} ⊥ α

M M_{1} ⊥ α

⇒

B B_{1} ∥ M M_{1}

(п. 16).1

M M_{1} ∥ B B_{1}

лежит в плоскости

A B B_{1}

⇒

M_{1} \in A B_{1}

A M = MB

M M_{1} ∥ B B_{1}

⇒

M M_{1}

— средняя линия

△ A B B_{1}

M M_{1} = \frac{1}{2} B B_{1} = \frac{6}{2} = 3

см.3

Ответ: 3 см.

Пояснение

Идея. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра (п. 19). Перпендикуляры из $B$ и из $M$ параллельны, поэтому $M M_{1}$ оказывается средней линией треугольника $A B B_{1}$ .

1Два перпендикуляра к одной плоскости параллельны (теорема п. 16). $B B_{1} = 6$ — данное расстояние, $M M_{1}$ — искомое.
2Прямая $M M_{1}$ параллельна $B B_{1}$ и проходит через точку $M$ отрезка $A B$ , поэтому лежит в плоскости $A B B_{1}$ . Плоскость $A B B_{1}$ пересекает $α$ по прямой $A B_{1}$ , и основание $M_{1}$ лежит на ней.
3В треугольнике $A B B_{1}$ точка $M$ — середина $A B$ , а $M M_{1} ∥ B B_{1}$ с $M_{1} \in A B_{1}$ . Значит, $M_{1}$ — середина $A B_{1}$ и $M M_{1}$ равна половине $B B_{1}$ .

Номер 141 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели