Номер 142 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Расстояние до плоскости — длина перпендикуляра. Строим вспомогательную прямую $AE\parallel \alpha$, чтобы середина $M$ попала на среднюю линию треугольника $ABE$; точки прямой, параллельной плоскости, равноудалены от неё (п. 19, замечание 2). Положение концов относительно $\alpha$ в условии не задано — разбираем оба случая.

1. 1Перпендикуляры $A{A}_1$ и $B{B}_1$ параллельны, лежат в одной плоскости. Отрезок $AE$ параллелен $A_1{B}_1$, поэтому $A{A}_1{B}_{1}E$ — прямоугольник и $B_{1}E=A{A}_1=1$.
2. 2В треугольнике $ABE$ точка $M$ — середина $AB$, а $MK\parallel AE$. По теореме Фалеса $K$ — середина $BE$. Прямая $MK$ параллельна $AE$, а значит, и $\alpha$.
3. 3Точки $M$ и $K$ равноудалены от $\alpha$, поэтому $M{M}_1=K{B}_1$ (перпендикуляр из $K$ — часть прямой $B{B}_1$). $E$ лежит между $B_1$ и $B$, отрезки складываются.
4. 4Если концы по разные стороны от $\alpha$, то $E$ лежит по ту же сторону, что $A$, а $B_1$ — между $E$ и $B$. Тогда $BE$ — сумма расстояний.
5. 5Точка $K$ — середина $BE$, до неё от $B$ по прямой $2,5$. Расстояние от $K$ до $\alpha$ — отрезок $K{B}_1$, он равен $B{B}_1-BK$.

Частая ошибка. Разобрать один случай: условие не говорит, по какую сторону от плоскости лежат концы, поэтому ответов два.