Номер 143 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Искомое расстояние — длина перпендикуляра $MO$. Равные наклонные имеют равные проекции (задача 139), поэтому основание перпендикуляра — центр описанной окружности треугольника. Дальше теорема Пифагора.

1. 1Равные наклонные $MA$, $MB$, $MC$ дают равные проекции $OA$, $OB$, $OC$, значит, $O$ равноудалена от вершин.
2. 2Точка, равноудалённая от вершин треугольника, — центр описанной окружности. У правильного треугольника со стороной $a$ радиус равен $\frac{a}{\sqrt{3}}$.
3. 3$MO\perp OA$, поэтому $△MOA$ прямоугольный: $MA$ — гипотенуза, $MO$ и $OA$ — катеты.