Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 47, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№144. Прямая a параллельна плоскости α. Докажите, что все точки прямой a равноудалены от плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a∥α
Доказать:все точки a равноудалены от α
Через точку прямой
a проведём
β∥α (зад. 59).
1a⊂β: иначе
a пересекла бы
β, а значит, и
α (зад. 55) — невозможно.
2 Все точки
β равноудалены от
α (п. 19, замечание 1).
3Точки
a лежат в
β ⇒ все они равноудалены от
α.
4Ответ: все точки a равноудалены от α.
Пояснение
Идея. Решение книги: прямую a помещаем в плоскость β, параллельную α. Все точки плоскости, параллельной α, на одном расстоянии от α.
- 1Через любую точку пространства проходит плоскость, параллельная данной (задача 59). Берём точку на a.
- 2Если бы a не лежала в β, то она пересекала бы β, а прямая, пересекающая одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую (задача 55). Но a∥α — противоречие.
- 3Замечание 1 п. 19: расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости одно и то же.
- 4Каждая точка a принадлежит β, поэтому её расстояние до α равно этому общему значению.
