Номер 145 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

№145. Через вершину $A$ прямоугольного треугольника $A BC$ с прямым углом $C$ проведена прямая $A D$ , перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник $CB D$ прямоугольный. б) Найдите $B D$ , если $BC = a$ , $D C = b$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

;

A D ⊥ (A BC)

;

BC = a

D C = b

Найти:

а)

△ CB D

прямоугольный; б)

B D

Прямоугольный треугольник ABC и перпендикуляр AD к его плоскости

а)

A D ⊥ (A BC)

⇒

A C

— проекция наклонной

D C

на плоскость

A BC

BC ⊥ A C

⇒

BC ⊥ D C

(теорема о трёх перпендикулярах, п. 20).2

∠ BC D = 9 0^{\circ}

⇒

△ CB D

прямоугольный.3

б)

B D^{2} = B C^{2} + D C^{2} = a^{2} + b^{2}

B D = a^{2} + b^{2}

Ответ: а) доказано; б)

a^{2} + b^{2}

Пояснение

Идея. $D C$ — наклонная к плоскости треугольника, $A C$ — её проекция. Прямая $BC$ из основания наклонной перпендикулярна проекции, значит, по теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярна и самой наклонной. Дальше теорема Пифагора.

1Основание перпендикуляра $A D$ — точка $A$ ; наклонная $D C$ проходит через $D$ и $C$ , её проекция на плоскость — отрезок $A C$ .
2Прямая $BC$ лежит в плоскости $A BC$ , проходит через основание наклонной $C$ и перпендикулярна проекции $A C$ (угол $C$ прямой). Теорема о трёх перпендикулярах: тогда $BC ⊥ D C$ .
3Угол $BC D$ прямой, значит, треугольник $CB D$ прямоугольный с гипотенузой $B D$ .
4Катеты $BC = a$ и $D C = b$ известны, гипотенуза находится по теореме Пифагора.

Номер 145 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели