Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№146. Прямая a пересекает плоскость α в точке M и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку M проходит прямая, перпендикулярная к прямой a, и притом только одна.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a∩α=M; a⊥α
Доказать:в α через M есть ровно одна прямая, перпендикулярная a
Существует
A∈a,
A=M;
AO⊥α,
O∈α.
a⊥α ⇒
O=M,
MO — проекция
a на
α.
1 В
α через
M проведём
m⊥MO.
2m⊥MO ⇒
m⊥AM, то есть
m⊥a (теорема о трёх перпендикулярах, п. 20).
3 Единственна
m′⊥AM ⇒
m′⊥MO (обратная теорема, зад. 153).
5 В плоскости
α через
M только одна прямая перпендикулярна
MO ⇒
m′=m.
5Ответ: такая прямая существует и единственна.
Пояснение
Идея. Заменяем a её проекцией на α. Прямые плоскости, проходящие через M, перпендикулярны к a ровно тогда, когда перпендикулярны к проекции MO; а такая прямая в плоскости одна.
- 1Берём любую точку A прямой a, отличную от M, и опускаем перпендикуляр AO на α. Если бы O совпала с M, прямая a была бы перпендикулярна α — а по условию это не так. Значит, MO — проекция a — настоящая прямая.
- 2В плоскости α через точку M можно провести перпендикуляр к прямой MO — это обычная планиметрия.
- 3Теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, проведённая через основание наклонной (M) перпендикулярно её проекции (MO), перпендикулярна и наклонной AM, то есть прямой a. Прямая m — искомая.
- 4Допустим, есть ещё одна прямая m′ в α через M, перпендикулярная a.
- 5Обратная теорема: прямая плоскости, перпендикулярная наклонной в её основании, перпендикулярна и проекции. Значит, m′⊥MO. Но перпендикуляр к MO в точке M в плоскости единствен, поэтому m′ совпадает с m.
