Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№147. Из точки M проведён перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — прямоугольник; MB⊥(ABCD)
Доказать:△AMD и △MCD прямоугольные
MB⊥(ABCD) ⇒
AB — проекция наклонной
MA,
BC — проекция наклонной
MC.
1 AD⊥AB (прямоугольник) ⇒
AD⊥MA (теорема о трёх перпендикулярах, п. 20).
2 ∠MAD=90∘ ⇒
△AMD прямоугольный.
3 CD⊥BC (прямоугольник) ⇒
CD⊥MC (теорема о трёх перпендикулярах).
4 ∠MCD=90∘ ⇒
△MCD прямоугольный.
4 Ответ: ∠MAD=∠MCD=90∘.
Пояснение
Идея. Две наклонные MA и MC имеют проекции AB и CB — это стороны прямоугольника. Стороны AD и CD перпендикулярны этим проекциям, значит, по теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярны и самим наклонным.
- 1Основание перпендикуляра — точка B. Проекция наклонной MA на плоскость — отрезок BA, проекция MC — отрезок BC.
- 2Прямая AD лежит в плоскости прямоугольника, проходит через основание наклонной A и перпендикулярна проекции AB (углы прямоугольника прямые). Тогда AD⊥MA.
- 3Угол MAD прямой, значит, треугольник AMD прямоугольный с прямым углом A.
- 4Так же для наклонной MC: CD⊥BC — проекции, поэтому CD⊥MC и в треугольнике MCD прямой угол C.
