Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№148. Прямая AK перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, а точка M — середина стороны BC. Докажите, что MK⊥BC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABC — правильный; AK⊥(ABC); BM=MC
Доказать:MK⊥BC
△ABC правильный,
M — середина
BC ⇒
AM — медиана и высота:
AM⊥BC.
1 AK⊥(ABC) ⇒
AM — проекция наклонной
KM на плоскость
ABC.
2 BC⊥AM,
BC⊂(ABC),
M∈BC ⇒
BC⊥KM (теорема о трёх перпендикулярах, п. 20).
3 Ответ: MK⊥BC.
Пояснение
Идея. В правильном треугольнике медиана AM — высота. Она же — проекция наклонной KM, поэтому теорема о трёх перпендикулярах даёт перпендикулярность BC самой наклонной.
- 1В равнобедренном (тем более правильном) треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой.
- 2Перпендикуляр AK опущен из K на плоскость в точку A; наклонная KM имеет проекцию AM.
- 3Прямая BC лежит в плоскости, проходит через основание наклонной M и перпендикулярна проекции AM. Теорема о трёх перпендикулярах: BC⊥KM.
