Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№24. Точка M не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости BMC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — трапеция, AD∥BC; M∈/(ABC)
Доказать:AD∥(BMC)
AD∥BC (основания трапеции),
BC⊂(BMC).
1 A∈/(BMC): иначе
A,B,C∈(BMC) и
M лежала бы в плоскости трапеции.
2 AD⊂(BMC),
AD∥BC⊂(BMC) ⇒
AD∥(BMC) (признак, п. 6).
3 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Признак параллельности прямой и плоскости (п. 6): прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-нибудь прямой этой плоскости, параллельна плоскости. Подходящая прямая — основание BC.
- 1Основания трапеции параллельны, а BC лежит в плоскости BMC — это и есть нужная прямая в плоскости.
- 2Признаку нужно ещё, чтобы AD не лежала в плоскости BMC. Если бы A лежала в ней, то точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, задали бы плоскость BMC. Но это плоскость трапеции, а M в ней не лежит.
- 3Оба условия признака выполнены, прямая AD параллельна плоскости BMC.
