Номер 150 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— прямоугольник;

A K ⊥ (A BC D)

;

KD = 6

см,

K B = 7

см,

K C = 9

см

Найти:

а) расстояние от

K

до плоскости

A BC D

; б) расстояние между

A K

C D

Прямоугольник ABCD и перпендикуляр AK к его плоскости

а)

A K ⊥ (A BC D)

⇒ расстояние от

K

до плоскости равно

A K = h

. Обозначим

A B = x

A D = y

K D^{2} = h^{2} + y^{2} = 36, K B^{2} = h^{2} + x^{2} = 49, K C^{2} = h^{2} + x^{2} + y^{2} = 81

h^{2} = K B^{2} + K D^{2} - K C^{2} = 49 + 36 - 81 = 4

A K = h = 2

см.3

б)

A D ⊥ A K

(

A K ⊥

плоскости) и

A D ⊥ C D

(прямоугольник) ⇒

A D

— общий перпендикуляр

A K

C D

y^{2} = K D^{2} - h^{2} = 36 - 4 = 32

A D = y = 42

см.5

Ответ: а)

2

см; б)

42

см.

Пояснение

Идея. Все три расстояния от $K$ до вершин — гипотенузы прямоугольных треугольников с общим катетом $A K$ . Складывая квадраты, находим $A K$ . Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра, здесь это сторона $A D$ .

1Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, то есть $A K$ . Пусть $A B = x$ , $A D = y$ .
2Треугольники $K A D$ , $K A B$ — прямоугольные ( $A K ⊥ A D$ , $A K ⊥ A B$ ). Для $K C$ используем $A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} = x^{2} + y^{2}$ и $A K ⊥ A C$ .
3Сложим первые два равенства и вычтем третье: $h^{2} + x^{2} + h^{2} + y^{2} - (h^{2} + x^{2} + y^{2}) = h^{2}$ .
4Прямые $A K$ и $C D$ скрещивающиеся. Отрезок $A D$ соединяет их точки $A$ и $D$ и перпендикулярен обеим: $A D ⊥ A K$ , $A D ⊥ C D$ . Длина общего перпендикуляра — расстояние между прямыми.
5В прямоугольном треугольнике $K A D$ катет $A D$ находим по теореме Пифагора.

Номер 150 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели