Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№151. Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость ABC; б) если CH — высота треугольника ABC, то DH — высота треугольника ABD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:CD⊥(ABC); CH⊥AB, H∈AB
Доказать:а) △ABC — проекция △ABD; б) DH — высота △ABD
а)
CD⊥(ABC) ⇒ проекция
D на плоскость
ABC — точка
C.
1 Точки
A и
B лежат в плоскости — их проекции
A и
B.
2Проекция треугольника
ABD — треугольник с вершинами
A,
B,
C, то есть
△ABC.
2б)
CH⊥AB,
CH — проекция наклонной
DH на
(ABC).
3 AB⊥CH ⇒
AB⊥DH (теорема о трёх перпендикулярах, п. 20).
4 H∈AB,
DH⊥AB ⇒
DH — высота
△ABD.
4 Ответ: а) проекция △ABD — △ABC; б) DH⊥AB.
Пояснение
Идея. Проекция фигуры — множество проекций её точек, а проекция отрезка — отрезок между проекциями его концов. В пункте б) высота CH — это проекция наклонной DH, и теорема о трёх перпендикулярах переносит перпендикулярность на DH.
- 1Основание перпендикуляра DC — это и есть проекция точки D. Поэтому проекция D — точка C.
- 2Проекция отрезка AD — отрезок AC, проекция BD — отрезок BC, проекция AB — сам отрезок AB (он лежит в плоскости). Три проекции образуют стороны треугольника ABC.
- 3Наклонная DH имеет проекцию HC — перпендикуляр из D опущен в C. Высота CH лежит на этой проекции.
- 4Прямая AB лежит в плоскости, проходит через основание наклонной H и перпендикулярна проекции HC. По теореме о трёх перпендикулярах AB⊥DH; точка H лежит на AB, значит, DH — высота треугольника ABD.
