Номер 153 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

№153. Докажите, что прямая $a$ , проведённая в плоскости $α$ через основание $M$ наклонной $A M$ перпендикулярно к ней, перпендикулярна к её проекции $H M$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A H ⊥ α

;

a \subset α

M \in a

;

a ⊥ A M

Доказать:

a ⊥ H M

Наклонная AM, перпендикуляр AH, проекция HM и прямая a в плоскости α

A H ⊥ α

a \subset α

⇒

a ⊥ A H

a ⊥ A M

(по условию),

a ⊥ A H

;

A M

A H

пересекаются ⇒

a ⊥ (A M H)

(п. 17).2

H M \subset (A M H)

⇒

a ⊥ H M

Ответ:

a ⊥ H M

Пояснение

Идея. Это теорема, обратная теореме о трёх перпендикулярах. Прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A M$ и $A H$ плоскости $A M H$ , значит, перпендикулярна всей плоскости, а в ней лежит проекция $H M$ .

1 $A H$ — перпендикуляр к $α$ , поэтому он перпендикулярен любой прямой этой плоскости, в том числе $a$ .
2Прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $A$ прямым плоскости $A M H$ : $A M$ — по условию, $A H$ — из первого шага. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $a ⊥ (A M H)$ .
3Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Проекция $H M$ лежит в плоскости $A M H$ — значит, $a ⊥ H M$ .

Номер 153 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели