Номер 154 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 48, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

№154. Прямая $B D$ перпендикулярна к плоскости треугольника $A BC$ . Известно, что $B D = 9$ см, $A C = 10$ см, $BC = B A = 13$ см. Найдите: а) расстояние от точки $D$ до прямой $A C$ ; б) площадь треугольника $A C D$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

B D ⊥ (A BC)

;

B D = 9

см,

A C = 10

см,

BC = B A = 13

см

Найти:

а) расстояние от

D

до

A C

; б)

S_{A C D}

Равнобедренный треугольник ABC, перпендикуляр BD и высота BN

а)

BN

— медиана и высота

△ A BC

(равнобедренный):

BN ⊥ A C

A N = 5

см.1

BN = B A^{2} - A N^{2} = 169 - 25 = 12

B D ⊥ (A BC)

BN

— проекция

D N

A C ⊥ BN

⇒

A C ⊥ D N

(п. 20):

D N

— расстояние от

D

до

A C

D N = B D^{2} + B N^{2} = 81 + 144 = 15

б)

S_{A C D} = \frac{1}{2} A C \cdot D N = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75

Ответ: а)

15

см; б)

75

см

^{2}

Пояснение

Идея. Расстояние от $D$ до $A C$ — перпендикуляр $D N$ к $A C$ , его основание — основание высоты $BN$ треугольника $A BC$ (теорема о трёх перпендикулярах). Он же — высота треугольника $A C D$ , что даёт площадь.

1В равнобедренном треугольнике с основанием $A C$ медиана $BN$ — высота. Она делит $A C = 10$ пополам.
2Из прямоугольного треугольника $A BN$ находим $BN$ .
3 $B D$ — перпендикуляр к плоскости, $D N$ — наклонная, её проекция — $BN$ . Прямая $A C$ перпендикулярна проекции, значит, и самой наклонной.
4Треугольник $D BN$ прямоугольный ( $D B ⊥ BN$ ), $D N$ — гипотенуза.
5 $D N$ — высота треугольника $A C D$ , опущенная на сторону $A C$ : площадь — половина произведения основания на высоту.

Номер 154 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели