Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 49, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№156. Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен m, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен φ. Через вершину прямого угла C проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD=n. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.
✎ Запись в тетрадь
Дано:∠C=90∘; AC=m, ∠A=φ; CD⊥(ABC), CD=n
Найти:расстояние от D до AB
Пусть
AC=m,
∠A=φ,
∠C=90∘;
CH⊥AB,
H∈AB.
1CD⊥(ABC),
CH — проекция
DH,
AB⊥CH ⇒
AB⊥DH (п. 20):
DH — расстояние от
D до
AB.
3 Пояснение
Идея. Расстояние от D до AB — наклонная DH, проведённая в основание высоты CH (теорема о трёх перпендикулярах). Высоту CH выражаем из треугольника ACH через катет m и угол φ.
- 1Катет m — это AC, острый угол φ прилегает к нему, то есть лежит при вершине A.
- 2В прямоугольном треугольнике ACH катет CH противолежит углу A, гипотенуза равна AC=m.
- 3Проекция наклонной DH на плоскость — отрезок CH, и AB⊥CH. Теорема о трёх перпендикулярах даёт AB⊥DH.
- 4Прямоугольный треугольник DCH (DC⊥CH): DH — гипотенуза.
