Номер 157 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— ромб,

A C \cap B D = O

;

O K ⊥ (A BC D)

;

O K = 4, 5

дм,

A C = 6

дм,

B D = 8

дм

Найти:

а) расстояния от

K

до прямых

A B

BC

C D

D A

равны; б) это расстояние

Ромб ABCD с центром O и перпендикуляр OK к его плоскости

а)

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой

O

делятся пополам ⇒

△ A OB

△ BOC

△ CO D

△ D O A

— прямоугольные с катетами

O A = OC

OB = O D

⇒ они равны.1

Равны и высоты

O H_{1}

O H_{2}

O H_{3}

O H_{4}

к гипотенузам

A B

BC

C D

D A

O H_{i} = r

O K ⊥ (A BC D)

O H_{i}

— проекция

K H_{i}

O H_{i} ⊥

стороне ⇒

K H_{i} ⊥

стороне (п. 20).3

K H_{i} = O K^{2} + O H_{i}^{2} = O K^{2} + r^{2}

Это число не зависит от

i

⇒ все четыре расстояния равны.3

б)

O A = 3

OB = 4

⇒

A B = 5

r = O H_{1} = \frac{O A \cdot OB}{A B} = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2, 4

K H_{1} = 4, 5^{2} + 2, 4^{2} = 26, 01 = 5, 1

Ответ: а) доказано; б)

5, 1

дм.

Пояснение

Идея. Основание перпендикуляра $O K$ — центр ромба, одинаково удалённый от всех сторон. Расстояние от $K$ до стороны — наклонная $K H_{i}$ к основанию высоты $O H_{i}$ ; из равенства $O H_{i}$ следует равенство $K H_{i}$ .

1У ромба диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Четыре прямоугольных треугольника с вершиной $O$ равны по двум катетам.
2В равных треугольниках соответственные высоты, проведённые к гипотенузам, равны. Это расстояния от $O$ до сторон ромба.
3Основания перпендикуляров $H_{i}$ лежат на сторонах. $O H_{i}$ — проекция наклонной $K H_{i}$ и перпендикулярна стороне, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах и $K H_{i}$ перпендикулярна стороне. Значит, $K H_{i}$ — расстояние от $K$ до этой прямой, по теореме Пифагора оно одинаково для всех сторон.
4 $O A = A C /2 = 3$ , $OB = B D /2 = 4$ ; $A B$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $A OB$ (египетский треугольник $3$ – $4$ – $5$ ).
5Высота к гипотенузе: площадь треугольника $A OB$ равна $\frac{1}{2} O A \cdot OB$ и $\frac{1}{2} A B \cdot O H_{1}$ , отсюда $O H_{1}$ .
6Треугольник $K O H_{1}$ прямоугольный ( $K O ⊥ O H_{1}$ ): $K H_{1}$ — гипотенуза.

Номер 157 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели