Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 49, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью
№160. Концы отрезка AB лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причём d<AB. Докажите, что проекции отрезка AB на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если AB=13 см, d=5 см.
Идея. Обе проекции — катеты прямоугольных треугольников с общей гипотенузой AB и вторым катетом, равным расстоянию между плоскостями. Такие треугольники равны, поэтому проекции равны.
1Опускаем из B перпендикуляр на α, из A — на β. Проекция отрезка на плоскость — отрезок между проекциями его концов; A уже лежит в α, поэтому проекция на α — это AB1. Так же A1B на β.
2Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости одно и то же — это d (п. 19, замечание 1).
3Треугольники ABB1 и BAA1 прямоугольные; у них общая гипотенуза и равные катеты BB1=AA1=d. Значит, остальные катеты тоже равны. Условие d<AB нужно, чтобы такие треугольники существовали.
