Номер 161 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Опускаем из $A$ перпендикуляр на плоскость и перпендикуляры на лучи $BC$ и $BD$. Первая пара прямоугольных треугольников даёт $BP=BQ$, вторая — равенство углов, которые проекция $BO$ образует с лучами.

1. 1Проекция луча на плоскость — луч с началом в $B$ и через основание перпендикуляра $O$. Если бы $O$ совпала с $B$, луч $BA$ был бы перпендикулярен плоскости и угол $ABC$ был бы прямым — а он острый.
2. 2Так как угол $ABC$ острый, основание перпендикуляра $P$ из $A$ на прямую $BC$ лежит на луче $BC$ (а не на продолжении). То же для $Q$ на луче $BD$.
3. 3Прямоугольные треугольники $ABP$ и $ABQ$ имеют общую гипотенузу $AB$ и равные острые углы $ABP=ABQ$ по условию. Значит, они равны и $BP=BQ$.
4. 4$AO$ — перпендикуляр к плоскости, $AP$ — наклонная с проекцией $OP$. Прямая $BC$ перпендикулярна наклонной в её основании $P$, значит (обратная теорема), перпендикулярна и проекции $OP$. Аналогично $OQ\perp BD$.
5. 5Прямоугольные треугольники $BPO$ и $BQO$ ($\angle P=\angle Q=90^{\circ }$) имеют общую гипотенузу $BO$ и равные катеты $BP=BQ$. Поэтому равны углы при вершине $B$.
6. 6Луч, образующий с лучами $BC$ и $BD$ равные углы в плоскости, — либо биссектриса угла $CBD$, либо продолжение биссектрисы за вершину. Во втором случае углы с $BC$ и $BD$ были бы тупыми, а угол $PBO$ острый (он в прямоугольном треугольнике). Остаётся биссектриса.