Номер 162 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Сравниваем синусы двух углов: у обоих в знаменателе одна и та же длина $AM$, а в числителе — перпендикуляр $MH$ и наклонная $MN$ из точки $M$. Перпендикуляр короче любой наклонной, значит, синус и угол ${\phi }_0$ — наименьшие.

1. 1Угол ${\phi }_0$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией $AH$. Берём любую другую прямую $p$ плоскости через $A$ и обозначаем через $\phi$ угол между ней и $MA$ (он не больше $90^{\circ }$).
2. 2Опустим из $M$ перпендикуляр $MN$ на $p$. Если основание совпадает с $A$, то $MA\perp p$ и $\phi =90^{\circ }$ — больше острого угла ${\phi }_0$.
3. 3Иначе $△ANM$ и $△AHM$ прямоугольные с общей гипотенузой $AM$: $\sin \phi$ и $\sin {\phi }_0$ — отношения противолежащих катетов к ней.
4. 4Перпендикуляр $MH$ к плоскости короче наклонной $MN$. Углы $\phi$ и ${\phi }_0$ острые, а синус на острых углах возрастает: из $\sin \phi >\sin {\phi }_0$ следует $\phi >{\phi }_0$.