Номер 163 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 49, §2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

№163. Наклонная $A M$ , проведённая из точки $A$ к данной плоскости, равна $d$ . Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой $A M$ и данной плоскостью равен: а) $4 5^{\circ}$ ; б) $6 0^{\circ}$ ; в) $3 0^{\circ}$ ?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A M = d

;

∠ (A M, α) = 4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

3 0^{\circ}

Найти:

проекция

H M

наклонной на плоскость

Наклонная AM, перпендикуляр AH и проекция HM

A H ⊥ α

H M

— проекция

A M

;

φ = ∠ A M H

— угол между

A M

α

△ A H M

прямоугольный,

A M = d

H M = A M cos φ = d cos φ

а)

φ = 4 5^{\circ} : H M = d cos 4 5^{\circ} = \frac{d 2}{2}

б)

φ = 6 0^{\circ} : H M = d cos 6 0^{\circ} = \frac{d}{2}

в)

φ = 3 0^{\circ} : H M = d cos 3 0^{\circ} = \frac{d 3}{2}

Ответ: а)

\frac{d 2}{2}

; б)

\frac{d}{2}

; в)

\frac{d 3}{2}

Пояснение

Идея. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией. В прямоугольном треугольнике $A H M$ проекция $H M$ — катет, прилежащий к этому углу, поэтому $H M = A M cos φ$ .

1По определению угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией. В треугольнике $A H M$ он расположен при вершине $M$ , угол $H$ прямой.
2Катет, прилежащий к углу $φ$ , равен гипотенузе, умноженной на $cos φ$ .
3Подставляем значения косинусов табличных углов: $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .

Номер 163 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели