Номер 165 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Из прямоугольных треугольников $AOB$ и $AOC$ находим проекции $OB$ и $OC$ (угол $30^{\circ }$ и катет $d$). Затем $BC$ — сторона треугольника $BOC$ с известным углом $120^{\circ }$ между равными сторонами.

1. 1Основание перпендикуляра $O$; проекции наклонных — $OB$ и $OC$. Угол между наклонной и плоскостью — угол с её проекцией, то есть при вершинах $B$ и $C$.
2. 2В прямоугольном треугольнике $ABO$ катет $AO=d$ противолежит углу $30^{\circ }$, а искомый катет $OB$ прилежит к нему: $OB=\frac{AO}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=d\sqrt{3}$. Для $OC$ то же самое.
3. 3В треугольнике $BOC$ две стороны по $d\sqrt{3}$ и угол между ними $120^{\circ }$, $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$. Теорема косинусов даёт $B{C}^2=9d^2$.