Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 57, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№166. Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки A проведён перпендикуляр AB к прямой MN и из той же точки A проведён перпендикуляр AC к плоскости α. Докажите, что ∠ABC — линейный угол двугранного угла AMNC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∩β=MN, α⊥β; A∈β, AB⊥MN, B∈MN; AC⊥α, C∈α
Доказать:∠ABC — линейный угол двугранного угла AMNC
AB⊥MN,
AC⊥MN ⇒
MN⊥(ABC).
2 BA⊂β,
BC⊂α,
BA⊥MN,
BC⊥MN.
4 ⇒
∠ABC — линейный угол двугранного угла
AMNC.
4Ответ: ∠ABC — линейный угол двугранного угла AMNC.
Пояснение
Идея. Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, которые лежат в гранях, перпендикулярны ребру и выходят из одной его точки (п. 22). Лучи BA и BC лежат в гранях, осталось показать, что обе прямые перпендикулярны ребру MN.
- 1Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Ребро MN лежит в α.
- 2Ребро MN перпендикулярно двум пересекающимся прямым AB и AC плоскости ABC — значит, перпендикулярно всей этой плоскости (п. 17).
- 3Прямая BC лежит в плоскости ABC. Точка C не совпадает с B: иначе AB⊥α и плоскости были бы перпендикулярны, а по условию это не так.
- 4Точки B и C лежат в α, поэтому луч BC лежит в грани α; луч BA лежит в грани β. Оба перпендикулярны ребру и выходят из точки B — это определение линейного угла.
