Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 57, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№167. В тетраэдре DABC все рёбра равны, точка M — середина ребра AC. Докажите, что ∠DMB — линейный угол двугранного угла BACD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:DABC — тетраэдр, DA=DB=DC=AB=BC=AC; AM=MC
Доказать:∠DMB — линейный угол двугранного угла BACD
Все рёбра равны ⇒ грани
ABC и
ADC — равносторонние треугольники.
1BM,
DM — медианы ⇒ высоты:
BM⊥AC,
DM⊥AC.
2 MB⊂(ABC),
MD⊂(ADC),
M∈AC.
3 ⇒
∠DMB — линейный угол двугранного угла
BACD.
3Ответ: ∠DMB — линейный угол двугранного угла BACD.
Пояснение
Идея. Нужно показать, что лучи MB и MD лежат в разных гранях двугранного угла, выходят из точки ребра AC и перпендикулярны этому ребру (п. 22).
- 1Ребро AC принадлежит граням ABC и ADC — они и образуют двугранный угол BACD. Раз все рёбра равны, обе грани — правильные треугольники.
- 2В равностороннем треугольнике медиана является и высотой. Для треугольника ABC это BM, для ADC — DM.
- 3Лучи MB и MD лежат в разных гранях, начинаются в одной точке ребра и перпендикулярны ему — это определение линейного угла.
