Номер 168 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

двугранный угол с ребром

a

равен

φ

;

A \in β

;

A H ⊥ α

A H = d

Найти:

расстояние от

A

до ребра

a

Двугранный угол φ с ребром a, точка A на грани β, перпендикуляр AH к плоскости α

A B ⊥ a

B \in a

— искомое расстояние;

A H ⊥ α

A H = d

a ⊥ A B

a ⊥ A H

⇒

a ⊥ (A B H)

⇒

a ⊥ B H

⇒

∠ A B H = φ

— линейный угол.2

A H = A B sin φ

A B = \frac{A H}{sin φ} = \frac{d}{sin φ}

Ответ:

\frac{d}{sin φ}

Пояснение

Идея. Расстояние до ребра и расстояние до плоскости другой грани соединяет прямоугольный треугольник $A B H$ , где угол при $B$ — линейный угол двугранного угла.

1Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, поэтому $A B ⊥ a$ . Из точки $A$ опускаем перпендикуляр $A H$ на плоскость другой грани, он равен $d$ .
2Ребро $a$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $A B$ и $A H$ плоскости $A B H$ , значит, перпендикулярно и $B H$ . Луч $B A$ лежит в одной грани, луч $B H$ — в плоскости другой, оба перпендикулярны ребру: угол при $B$ в треугольнике $A B H$ равен $φ$ .
3В прямоугольном треугольнике $A B H$ катет $A H$ лежит против угла $B$ , а $A B$ — гипотенуза.

Частая ошибка. Если $φ$ тупой, точка $H$ окажется по другую сторону от ребра, и угол в треугольнике $A B H$ будет $18 0^{\circ} - φ$ . Синусы этих углов равны, ответ тот же.

Номер 168 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели