Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 57, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180∘.
✎ Запись в тетрадь
Дано:двугранные углы φ и ψ с общим ребром a, общая грань γ; другие грани α1, α2 — полуплоскости плоскости α
Доказать:φ+ψ=180∘
Ребро
a — общая граница;
γ — общая грань;
α1,
α2 — полуплоскости
α.
1O∈a; в
γ:
OA⊥a; в
α1:
OB1⊥a.
2 B2 на продолжении
B1O за
O ⇒
OB2⊂α2,
OB2⊥a.
3 ∠AOB1=φ,
∠AOB2=ψ — линейные углы.
4 ∠AOB1 и
∠AOB2 — смежные ⇒
φ+ψ=180∘.
4 Ответ: φ+ψ=180∘.
Пояснение
Идея. Измеряем оба двугранных угла линейными углами при одной точке ребра. Тогда лучи в плоскости α составляют одну прямую, и углы оказываются смежными.
- 1Полуплоскости α1 и α2 лежат в одной плоскости α и имеют общую границу a — они дополняют друг друга до всей плоскости. Каждая образует с γ свой двугранный угол с ребром a.
- 2Берём на ребре точку O и проводим из неё перпендикуляры к ребру: OA в грани γ и OB1 в грани α1.
- 3В плоскости α перпендикуляр к прямой a в точке O единственный. Поэтому луч, дополняющий OB1 до прямой, — это и есть перпендикуляр к a в другой полуплоскости α2.
- 4Углы AOB1 и AOB2 имеют общую сторону OA, а две другие стороны образуют прямую. Смежные углы в сумме дают 180∘.
