Номер 170 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 57, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

№170. Из вершины $B$ треугольника $A BC$ , сторона $A C$ которого лежит в плоскости $α$ , проведён к этой плоскости перпендикуляр $B B_{1}$ . Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C$ и до плоскости $α$ , если $A B = 2$ см, $∠ B A C = 15 0^{\circ}$ и двугранный угол $B A C B_{1}$ равен $4 5^{\circ}$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A C \subset α

B B_{1} ⊥ α

;

A B = 2

см,

∠ B A C = 15 0^{\circ}

; двугранный угол

B A C B_{1}

равен

4 5^{\circ}

Найти:

расстояния от

B

до

A C

и до

α

Треугольник ABC, перпендикуляр BB₁ к плоскости α, высота BH к прямой AC

B H ⊥ A C

H \in A C

— расстояние от

B

до

A C

∠ B A C

тупой ⇒

H

лежит на

C A

за

A

B H = A B sin (18 0^{\circ} - 15 0^{\circ}) = 2 sin 3 0^{\circ} = 1

A C ⊥ B H

A C ⊥ B B_{1}

⇒

A C ⊥ (B H B_{1})

⇒

A C ⊥ H B_{1}

⇒

∠ B H B_{1} = 4 5^{\circ}

— линейный угол двугранного угла

B A C B_{1}

B B_{1} = B H sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

Ответ:

1

см и

\frac{2}{2}

см.

Пояснение

Идея. Расстояние до прямой — перпендикуляр $B H$ к $A C$ , до плоскости — $B B_{1}$ . Связывает их линейный угол двугранного угла: он образован $H B$ и проекцией $H B_{1}$ .

1Угол $B A C$ тупой, поэтому основание высоты $B H$ треугольника $A BC$ лежит вне стороны $A C$ — на продолжении за вершину $A$ . В прямоугольном треугольнике $A B H$ угол при $A$ смежный с $15 0^{\circ}$ .
2Катет $B H$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ при гипотенузе $A B = 2$ .
3Ребро $A C$ перпендикулярно $B H$ и $B B_{1}$ , то есть двум пересекающимся прямым плоскости $B H B_{1}$ , и потому перпендикулярно $H B_{1}$ . Лучи $H B$ и $H B_{1}$ перпендикулярны ребру и лежат в гранях — линейный угол.
4В прямоугольном треугольнике $B B_{1} H$ катет $B B_{1}$ лежит против угла $4 5^{\circ}$ при гипотенузе $B H = 1$ .

Номер 170 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели