Номер 171 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 57, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

№171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости $α$ , а катет наклонён к этой плоскости под углом $3 0^{\circ}$ . Найдите угол между плоскостью $α$ и плоскостью треугольника.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

A C = BC

;

A B \subset α

;

∠ (BC, α) = 3 0^{\circ}

Найти:

угол между

(A BC)

α

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза AB в плоскости α, перпендикуляр CO, высота CH

A C = BC = a

;

CO ⊥ α

O \in α

;

∠ CBO = 3 0^{\circ}

CO = BC sin 3 0^{\circ} = \frac{a}{2}

C H ⊥ A B

H \in A B

;

A B = a 2

C H = \frac{A B}{2} = \frac{a 2}{2}

A B ⊥ C H

A B ⊥ CO

⇒

A B ⊥ O H

⇒

∠ C H O = φ

— линейный угол.3

sin φ = \frac{CO}{C H} = \frac{a /2}{a 2 /2} = \frac{2}{2}

φ = 4 5^{\circ}

Ответ:

4 5^{\circ}

Пояснение

Идея. Угол между плоскостями измеряем линейным углом при ребре $A B$ : это угол между высотой $C H$ и её проекцией $O H$ . Нужное для него расстояние $CO$ получается из угла $3 0^{\circ}$ между катетом и плоскостью.

1Угол между наклонной $BC$ и плоскостью — угол между ней и проекцией $BO$ . В прямоугольном треугольнике $CBO$ катет $CO$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ .
2В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $a 2$ , а высота к ней — её половине.
3Ребро $A B$ перпендикулярно $C H$ и $CO$ — двум пересекающимся прямым плоскости $C H O$ , а значит, и $O H$ . Лучи $H C$ и $H O$ лежат в гранях и перпендикулярны ребру.
4В прямоугольном треугольнике $CO H$ катет $CO$ лежит против угла $φ$ , гипотенуза — $C H$ .

Номер 171 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели