Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№172. Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60∘. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AC=5 см, AB=13 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:∠C=90∘; AC⊂α; ∠((ABC),α)=60∘; AC=5 см, AB=13 см
Найти:расстояние от B до α
BO⊥α,
O∈α — искомое расстояние.
2 AC⊥BC,
AC⊥BO ⇒
AC⊥(BCO) ⇒
AC⊥CO.
2 ∠BCO=60∘ — линейный угол двугранного угла.
3 Пояснение
Идея. Ребро двугранного угла — AC. Катет BC перпендикулярен ребру, поэтому он — сторона линейного угла; вторая сторона — проекция CO. Искомая высота BO — катет прямоугольного треугольника BCO.
- 1Теорема Пифагора в треугольнике ABC с прямым углом C.
- 2Ребро AC перпендикулярно BC по условию и BO как прямой, перпендикулярной плоскости. Это две пересекающиеся прямые плоскости BCO, значит, AC⊥CO.
- 3Лучи CB и CO лежат в гранях и перпендикулярны ребру в точке C — угол между ними равен углу между плоскостями.
- 4В прямоугольном треугольнике BCO катет BO лежит против угла 60∘ при гипотенузе BC=12.
