Номер 175 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

все рёбра тетраэдра

D A BC

равны

a

Доказать:

все двугранные углы равны; найти их

Правильный тетраэдр DABC, M — середина AC, линейный угол DMB

Ребро

a

; грани — равносторонние треугольники.

M

— середина

A C

BM ⊥ A C

D M ⊥ A C

⇒

∠ BM D = α

— линейный угол при

A C

BM = D M = \frac{a 3}{2}, B D = a

cos α = \frac{B M ^{2} + D M ^{2} - B D ^{2}}{2 BM \cdot D M} = \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{3}

Любое ребро — то же самое ⇒ все двугранные углы равны,

α = arccos \frac{1}{3} \approx 7 0^{\circ} 3 2^{'}

Ответ:

cos α = \frac{1}{3}

α \approx 7 0^{\circ} 3 2^{'}

Пояснение

Идея. Линейный угол при ребре — угол между высотами двух соседних граней, проведёнными в одну точку ребра. Его находим по теореме косинусов; выкладка не зависит от выбранного ребра.

1Все рёбра равны $a$ , поэтому каждая грань — правильный треугольник со стороной $a$ .
2Медиана правильного треугольника — высота, её длина $\frac{a 3}{2}$ . Лучи $MB$ и $M D$ перпендикулярны ребру $A C$ и лежат в гранях — это линейный угол. Отрезок $B D$ — ребро, равное $a$ .
3Теорема косинусов для треугольника $BM D$ со сторонами $\frac{a 3}{2}$ , $\frac{a 3}{2}$ и $a$ . Результат не зависит от $a$ .
4Любое другое ребро тетраэдра ничем не отличается от $A C$ : всё рассуждение повторяется слово в слово. Значит, все шесть двугранных углов равны одному и тому же $α$ .

Номер 175 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели