Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№177. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∩β=a; γ⊥a
Доказать:γ⊥α, γ⊥β
a⊂α и
a⊂β (общая прямая);
a⊥γ.
1 α проходит через
a⊥γ ⇒
α⊥γ (признак, п. 23).
2 β проходит через
a⊥γ ⇒
β⊥γ (признак, п. 23).
3 Ответ: γ⊥α и γ⊥β.
Пояснение
Идея. Нужен признак перпендикулярности плоскостей (п. 23): если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- 1Прямая a — линия пересечения α и β, поэтому она лежит и в α, и в β. По условию γ⊥a, то есть a⊥γ.
- 2Плоскость α содержит прямую a, перпендикулярную плоскости γ. Это ровно условие признака.
- 3Для плоскости β рассуждение дословно такое же.
