Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№178. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой c. Докажите, что любая прямая плоскости α, перпендикулярная к прямой c, перпендикулярна к плоскости β.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α⊥β, α∩β=c; CA⊂α, CA⊥c, C∈c
Доказать:CA⊥β
CA⊂α,
CA⊥c,
C∈c. В
β через
C:
CB⊥c.
1 CA⊥c,
CB⊥c ⇒
∠ACB — линейный угол двугранного угла.
2 α⊥β ⇒
∠ACB=90∘, то есть
CA⊥CB.
3 CA⊥c,
CA⊥CB;
c∩CB=C ⇒
CA⊥β.
4 Ответ: CA⊥β.
Пояснение
Идея. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости (п. 17). Одна из них — c, вторую получаем из перпендикулярности плоскостей.
- 1В плоскости β проводим через точку C перпендикуляр CB к ребру c — так строится линейный угол.
- 2Лучи CA и CB лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру c в одной точке, значит, ∠ACB — линейный угол двугранного угла между α и β.
- 3Плоскости перпендикулярны, когда угол между ними равен 90∘ (п. 23). Поэтому ∠ACB прямой.
- 4CA перпендикулярна двум пересекающимся прямым c и CB плоскости β — признак перпендикулярности прямой и плоскости.
