Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№179. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости α проведена прямая, перпендикулярная к плоскости β. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α⊥β; M∈α; m∋M, m⊥β
Доказать:m⊂α
α∩β=c. В
α через
M проведём
m′⊥c.
1 α⊥β,
m′⊂α,
m′⊥c ⇒
m′⊥β (зад. 178).
2 Через
M проходит только одна прямая, перпендикулярная
β ⇒
m=m′.
3Ответ: m⊂α.
Пояснение
Идея. Строим в α «свою» прямую, перпендикулярную β (задача 178 гарантирует, что она такая). Перпендикуляр к плоскости из данной точки единствен, поэтому построенная прямая и есть данная.
- 1В плоскости α через точку M всегда можно провести прямую, перпендикулярную прямой c — это планиметрия. Если M лежит на c, строим перпендикуляр в самой точке M.
- 2Именно это утверждает задача 178: любая прямая плоскости α, перпендикулярная линии пересечения c, перпендикулярна плоскости β.
- 3Через точку M проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскости β. Значит, данная прямая m совпадает с m′ и лежит в α.
